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Die Exponentialfunktion 

     
   
     
In Gesprächen über die Weltbevölkerung habe ich festgestellt, dass die meisten Menschen das exponentielle Wachstum unterschätzen oder nicht verstehen. Ich möchte hier an einigen Beispielen die Exponentialfunktion erklären.

Das Schachbrett
Wahrscheinlich ist es eine Legende, dass der Erfinder des Schachspiels beim König einen Wunsch äussern durfte. Der Erfinder wünschte sich, dass man ihn mit Reis entlohnen solle. Das Schachbrett hat 64 Felder. Auf das erste Feld solle man 1 Reiskorn legen auf das zweite Feld 2 Reiskörner, auf das dritte Feld 4 Reiskörner, auf das nächste Feld 8 Reiskörner und immer schön weiter auf nächstem Feld doppelt so viel Reis wie auf dem vorangehenden Feld. Der König schmunzelte ob des bescheidenen Wunsches. Als ihm die für die Landwirtschaft zuständigen Höflinge berichteten, dass so viel Reis nicht aufzutreiben war, verging ihm aber das Lachen. Die Reismenge würde etwa 100 Milliarden Lastwagen füllen.

Der Fischteich
Ein Fischer besass einen Fischteich. An einer kleinen Stelle des Teichs wuchs eine bösartige Seerose, die den Fischen den Sauerstoff wegnahm. Ein herbeigerufener Fachmann mass den Teich und die Fläche der Seerosen und sagt dem Fischer: „Die bösartigen Seerosen bedecken momentan zwar nur 0,1 Prozent der Teichfläche, aber sie vermehren sich exponentiell, womit sich ihre Fläche jede Woche verdoppelt. Unterschätzen sie die Exponentialfunktion nicht!“ Da meinte der Fischer: „Wenn nur 0,1 Prozent der Teichfläche mit Seerosen bedeckt ist, wo soll da das Problem sein? Es sind doch 99,9 Prozent des Wassers frei von Seerosen.“ Und so vergingen einige Wochen und die Fläche der Seerosen wurde nur langsam grösser (0,2 dann 0,4 und 0,8 Prozent). Nach der vierten Verdoppelung betrug die Fläche der Seerosen 1,6 Prozent des Fischteiches und der Fischer dachte sich: „Dieser Panikmacher mit seiner Exponentialfunktion. Ich muss dieses Jahr sicher noch nichts unternehmen.“ Am Ende der siebten Woche waren 12,8 Prozent des Fischteiches mit der bösartigen Seerose bedeckt, aber der Fischer ahnte immer noch nichts Böses. Als eine Woche später die Fläche der Seerosen 25,6 Prozent betrug, wurde es ihm langsam mulmig und er dachte daran den Fachmann herbeizurufen, verschob es aber auf die nächste Woche, denn drei Viertel des Wassers waren frei von Seerosen. Als er den Fischteich dann eine Woche später sah, waren schon 51,2 Prozent der Wasserfläche mit Seerosen bedeckt. In grösster Panik rief er den Fachmann an und dieser, weil sehr beschäftigt, versprach ihm erst in einer Woche vorbeizukommen. Als sie dann eine Woche später gemeinsam zum Fischteich gingen, sahen sie, dass dieser ganz mit Seerosen bedeckt war und zwischen den Blumen sah man die weissen Bäuche der Fische.

Der Wolkenkratzer
Zwei Baufirmen bewerben sich um den Auftrag je einen Wolkenkratzer zu bauen. Die Firma „Linear“ hat ein Jahr lang Zeit einen 52 Stockwerke hohen Wolkenkratzer zu bauen. Die Firma „Exponential“ bekommt folgenden Auftrag: Ihr habt 1 Jahr Zeit einen Wolkenkratzer zu bauen, wobei jedes Stockwerk 3 m hoch ist. Das Bautempo sieht vor in der ersten Woche 1 Stockwerk zu bauen, in der zweiten Woche 2 Stockwerke und dann in jeder folgenden Woche doppelt so viele zu bauen wie in der vorangehenden Woche. Ohne lange zu überlegen, nehmen die Firmenbosse von „Exponential“ den Auftrag an. In der Firma beginnt der Bauingenieur zu rechnen und da trifft ihn fast der Schlag. In der 27. Woche müssten 67 Millionen Stockwerke gebaut werden. Wenn jedes 3 m hoch sein muss, wächst jetzt der Wolkenkratzer mit Schallgeschwindigkeit. Ab der 47. Woche würde das Wachstumstempo des Hochhauses die Lichtgeschwindigkeit erreichen.

Die Weltbevölkerung
Vor 2000 Jahren haben auf der Welt etwa 250 – 300 Millionen Menschen gelebt. Bis zum Jahr 1800 ist diese Zahl auf 1 Milliarde angestiegen. Heute leben auf der Welt mehr als 7 Milliarden Menschen. Machen wir eine theoretische Rechnung, was geschehen wäre, wenn die Bevölkerung vor 2013 Jahren mit 1 Prozent pro Jahr gewachsen wäre. Man kann etwas vereinfachend annehmen, dass 1 Prozent Wachstum eine Verdoppelung in 70 Jahren bewirkt. Beginnen wir unsere Rechnung bei der Zeitwende mit 250 Millionen Menschen. Bis zum Jahr 70 hätte sich die Weltbevölkerung auf 500 Millionen Menschen verdoppelt. Schon im Jahr 140 würden auf der Welt 1 Milliarde Menschen leben. Im Jahr 210 hätte man schon die ersten Probleme mit der Ernährung der 2 Milliarden Menschen bekommen, denn die Landwirtschaft kannte damals die Düngemittel nicht und es gab keine Traktoren. Im Jahr 350 würde die Bevölkerung des Planeten 8 Milliarden Menschen betragen. Im Jahr 1190 müssten nach der Formel 32768 Milliarden Menschen auf der Welt leben. Im Jahr 1470, bevor Kolumbus Amerika entdeckt hat, würde die Weltbevölkerung 524288 Milliarden Menschen betragen. Im Jahr 1960 hätten 67 Millionen Milliarden Menschen auf der Welt gelebt.
Weil die Sterberate hoch war, hat dieses Bevölkerungswachstum nie stattgefunden. Das Wirtschaftswachstum beträgt momentan in vielen Ländern mehr als 1 Prozent. Wir werden sehen wohin das langfristig noch führt.

Ein kleines Entwicklungsland
Das Potential der Bevölkerungsvermehrung eines kleinen Entwicklungslandes wird oft unterschätzt. Wenn man annimmt, dass dieses Land heute (ich schreibe diese Zeilen im Juli 2013) zehn Millionen Einwohner hat und die jährliche Bevölkerungsvermehrung 2,5 Prozent beträgt, wird sich die Bevölkerung etwa alle 30 Jahre verdoppeln. Die erste Verdoppelung auf 20 Millionen Einwohner im Jahr 2043 mag noch harmlos aussehen. Wie sieht es aber in ferner Zukunft aus? Im Jahr 2133 leben in diesem Land bereits 160 Millionen Menschen, doppelt so viele wie heute in Deutschland. Im Jahr 2223 leben hier 1,28 Milliarden Menschen, fast so viele wie in China heute. In 300 Jahren (2313) wird die Bevölkerung auf über 10 Milliarden Menschen anwachsen, mehr als heute auf der Welt leben. Diese Zahl ist natürlich reine Theorie auf dem Papier. In der Realität kommt es zu Menschenwanderungen, Verteilungskriegen und Hungersnöten.

Blatt Papier
Ein Technikgläubiger behauptete, dass die Menschheit für jedes Problem immer eine Lösung gefunden hat und so werde man auch für die Exponentialfunktion eine technische Lösung finden. Alle die anders denken, beschimpfte er als Dummköpfe, Schwarzmaler und Pessimisten. Eines Tages gab ihm einer der Beschimpften ein gewöhnliches Blatt Papier und forderte ihn auf, dieses 9 Mal zu falten. „Wo soll da ein Problem sein?“, sagte der Technikgläubige und begann das Papier zu halbieren und zu falten. Am Anfang ging noch alles problemlos, aber nach der fünften Faltung, als das Papierbündel immer kleiner und dicker wurde, ahnte er schon, dass er nicht mehr lange wird weiterfalten können. Nachdem er das Blatt sieben Mal gefaltet hatte, gab er auf und schimpfte über das Papier. Als ihm der Pessimist erklärte, dass er gerade an der Exponentialfunktion gescheitert sei, wollte er es genau wissen und so erklärte man ihm, was beim Falten geschieht: „Bei jeder Faltung verdoppelt sich die Papierdicke nach dieser Zahlenreihe: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Nach der siebten Faltung ist der Papierstapel 128 Mal dicker als zu Beginn vor der ersten Faltung.“

Die Wissenschaftler, die damit prahlen, alle Probleme der Welt lösen zu können, sind nicht mal in der Lage ein Blatt Papier 9 Mal zu falten.

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Wenn die Bevölkerung in den Entwicklungsländern weiterhin exponentiell zunimmt, wird das zu einem ökologischen und ökonomischen Desaster führen.


  
 
     
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